Question

已知矩阵A=

4 -2 1 1

，向量α=

4 3

．
（1）求A的特征值λ₁，λ₂和特征向量α₁，α₂；
（2）计算A⁴α．

Answer 1

分析：（1）先根据特征值的定义列出特征多项式 f(λ)=

.

λ-4 -2 1 λ-1

.

，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（2）利用特征向量的性质计算，先利用特征向量表示向量

α

，后将求 A⁴α的值的问题转化成求有关特征向量的计算问题．

解答：解：（1）矩阵A的特征多项式为 f(λ)=

.

λ-4 -2 1 λ-1

.

=λ²-5λ+6，
令f（λ）=0，得λ₁=2，λ₂=3，
当λ₁=2时，得

α1

=

2 1

，当λ₂=3时，得

α2

=

1 1

．（7分）
（2）由

α

=m

α1

+n

α2

得

m+2n=4 m+n=3

，得m=2，n=1．
∴A⁴α=2λ

4 1

α 1+λ 

4 2

α 2=

194 113

．（15分）

点评：本题主要考查了特征值与特征向量的计算以及利用特征向量求向量乘方的问题，属于向量中的基础题．