Question

11．如图所示，设过点M（2，0）的直线与椭圆x²+2y²=2交于A、B两点，若以线段AB的圆经过坐标原点O，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 设直线l的方程，代入椭圆方程，消去y，整理得（1+k²）x²-4k²x+4k²-2=0，以线段AB的圆经过坐标原点O，可得x₁x₂+y₁y₂=0，利用韦达定理，求出k，即可求直线l的方程．

解答 解：设直线l的方程为y=k（x-2），代入椭圆方程，消去y，整理得（1+k²）x²-4k²x+4k²-2=0．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-2}{1+{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=k²（x₁-2）（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=$\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
∵以线段AB的圆经过坐标原点O，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即$\frac{4{k}^{2}-2}{1+{k}^{2}}$+$\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=0
解得k=±1．
∴所求直线l的方程为y=±（x-2）．

点评 本题考查直线方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确运用韦达定理是关键．