Question

在等比数列{a_n}中，，．设，为数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）求a_n和T_n；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先确定等比数列的公比，再利用等比数列的通项公式求通项，进而利用裂项法求数列{b_n}的前n项和；
（Ⅱ）分类讨论：①当n为偶数时，由λT_n＜n-2恒成立得；②当n为奇数时，由λT_n＜n+2恒成立得，由此可得实数λ的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的公比为q，由得，
∴．----------------------------------（2分）

=
∴=．----（5分）
（Ⅱ）①当n为偶数时，由λT_n＜n-2恒成立得，恒成立，
即，----------------------------------（6分）
而随n的增大而增大，∴n=2时，
∴λ＜0；----------------------------------（8分）
②当n为奇数时，由λT_n＜n+2恒成立得，恒成立，
即，-----------------------------------（9分）
而，当且仅当等号成立，
∴λ＜9．---------------------------------------（11分）
综上，实数λ的取值范围（-∞，0）．----------------------------------------（12分）
点评：本题考查等比数列的通项，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查求最值，属于中档题．