Question

已知AB是抛物线y²=ax（a＞0）的焦点弦，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），点F是抛物线的焦点，则有S_△AOB=    （θ为直线AB的倾斜角）．

Answer 1

【答案】分析：设直线AB的方程为x=my+，与抛物线方程联解利用根与系数的关系算出x₁+x₂=am²+，结合抛物线的定义得到|AB|=a（m²+1）=．利用解三角形算出O到AB的距离d=，从而算出S_△AOB=•|AB|•d=．
解答：解：∵抛物线y²=ax（a＞0）的焦点坐标为F（，0）
∴设直线AB的方程为x=my+，（m是斜率tanθ的倒数）
代入y²=ax，可得y²-amy-=0
∴y₁+y₂=am，y₁y₂=-，
可得y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=a²m²+，
∵y₁²+y₂²=a（x₁+x₂），∴x₁+x₂=am²+，
∴焦点弦|AB|=x₁+x₂+=am²+a=a（m²+1），
∵m²+1=+1=
∴|AB|=am²+a=
∵∠OFB=θ，得O到AB的距离d=|OF|sinθ=
∴S_△AOB=•|AB|•d=••=
故答案为：
点评：本题给出抛物线焦点弦的倾角，求焦点弦与原点构成三角形的面积，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质、三角函数化简和三角形面积公式等知识，属于中档题．