题目内容

已知AB是抛物线y2=ax（a＞0）焦点弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），点F是抛物线的焦点，则有
1
|AF|
+
1
|BF|
=
4
a
4
a
．
分析：由题意利用抛物线的定义可得|AF|=x1+
a
4
，|BF|=x2+
a
4
．把AB的方程y-0=k（x-
a
4
）代入抛物线y2=ax（a＞0）可得 k2x2-
3a
2
x-
k2•a2
16
=0，
可得 x1•x2=
a2
16
．化简 
1
|AF|
+
1
|BF|
=
1
x1+
a
4
+
1
x2+
a
4
，求得结果．
解答：解：由题意利用抛物线的定义可得|AF|=x1+
a
4
，|BF|=x2+
a
4
．
把AB的方程y-0=k（x-
a
4
）代入抛物线y2=ax（a＞0）可得 k2x2-
3a
2
x-
k2•a2
16
=0，∴x1•x2=
a2
16
．
∴
1
|AF|
+
1
|BF|
=
1
x1+
a
4
+
1
x2+
a
4
=
x1+x2+
a
2
(x1+
a
4
)(x2+
a
4
)
=
x1+x2+
a
2
x1• x2+
a
4
(x1+x2)+
a2
16
=
x1+x2+
a
2
a
4
(x1+x2)+
a2
8

=
x1+x2+
a
2
a
4
(x1+x2+
a
2
)
=
4
a
，
故答案为
4
a
．
点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知AB是抛物线y2=ax（a＞0）的焦点弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），点F是抛物线的焦点，则有x1x2=
a2
16
a2
16
，y1y2=
-
a2
4
-
a2
4
．
已知AB是抛物线y2=ax（a＞0）的焦点弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），点F是抛物线的焦点，则|AB|=
a
sin2θ
a
sin2θ
（θ为直线AB的倾斜角）．
已知AB是抛物线y2=ax（a＞0）的焦点弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），点F是抛物线的焦点，则有S△AOB=
a2
8sinθ
a2
8sinθ
（θ为直线AB的倾斜角）．
已知AB是抛物线y2=2Px的任意一条焦点弦，且A（x1，y1），B（x2，y2）．
（1）求证y1y2=-p2，x1x2=
p2
4
；
（2）若弦AB被焦点分成长为m，n的两部分，求证：
1
m
+
1
n
=
2
p
．

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