Question

解关于x的不等式：（ax+1）（x-1）＞0（a∈R）．

Answer 1

分析：分a等于0，a大于0及a小于0三种情况考虑，当a等于0时，原不等式变为x-1大于0，求出解集即可；当a大于0时，先令（ax+1）（x-1）=0的解为1和

1

a

，然后根据不等式取解集的方法大于大的及小于小的，求出不等式的解集；当a小于0时，分a大于-1小于0，a=-1及a小于-1三种情况考虑，分别求出各自范围不等式的解集，把所有的解集综合起来得到原不等式的解集．

解答：解：当a=0时，不等式的解集为x|x＞1；
当a＞0时，方程（ax+1）（x-1）=0的解为1和-

1

a

，
不等式的解集为{x|x＜-

1

a

或x＞1；
当a＜0时，方程（ax+1）（x-1）=0的解为1和-

1

a

，
因为1-(-

1

a

)=

a+1

a

，a＜0，所以，
当-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|1＜x＜-

1

a

}；
当a=-1时，不等式的解集为∅；
当a＜-1时，不等式的解集为{x|-

1

a

＜x＜1}．
综上，
当a=0时，不等式的解集为x|x＞1；
当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜-

1

a

或x＞1；
当-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|1＜x＜-

1

a

}；
当a=-1时，不等式的解集为∅；当a＜-1时，不等式的解集为{x|-

1

a

＜x＜1}．

点评：此题考查一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题．