Question

已知函数f（x）=x（x-m）（x-n）．
（I）当n=2时，若函数f（x）在[1，3]上单调递减，求实数m的取值范围；
（II）若m＞n＞0，，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线f（x）均相切，求m和n的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）把n=2，代入函数f（x）并对其进行化简，利用导数研究函数的增减性；
（II）设出切点Q（x，y），根据导数与切线的关系，求出切线的方程，再根据直线垂直，斜率的关系，求出m和n；
解答：解：（I）当n=2时，f（x）=x（x-m）（x-2）=x³-（m+2）x²+2mx．则f′（x）=3x²-2（m+2）x+2m，
函数f（x）在[1，3]上单调递减，则有：，
解得m≥，故实数m的取值范围是[，+∞）；
（II）设切点Q（x，y），
则切线的斜率，
所以切线的方程是，
又切线过原点，则，
∴，
解得x=0，或．
两条切线的斜率为k₁=f'（0）=mn，
∵k₁k₂=-1，∴（mn）²-2mn=-1，∴mn=1，
由m＞n＞0，得，．
点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及过莫点切线的求法，此题是一道中档题，考查的知识点比较多；