Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，点D在边BC上，AD⊥C₁D．
（1）求证：AD⊥平面BCC₁B₁；
（2）如果点E是B₁C₁的中点，求证：A₁E∥平面ADC₁．

Answer 1

分析：（1）欲证AD⊥平面BCC₁B₁，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AD与平面BCC₁B₁内两相交直线垂直，而C₁C⊥AD，又AD⊥C₁D，C₁C∩C₁D=C₁，满足定理条件；
（2）根据（1）得AD⊥BC，D为BC边上的中点，连接DE，而点E是B₁C₁的中点，则四边形B₁BDE为平行四边形，可证四边形A₁ADE为平行四边形，从而A₁E∥AD，又A₁E?平面ADC₁，AD?平面ADC₁，根据线面平行的判定定理可知A₁E∥平面ADC₁．

解答：证明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁C⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴C₁C⊥AD，
又AD⊥C₁D，C₁C∩C₁D=C₁，
∴AD⊥平面BCC₁B₁．（6分）
（2）由（1）得∴AD⊥BC，
∵在△ABC中，AB=AC，
∴D为BC边上的中点，（9分）
连接DE，∵点E是B₁C₁的中点，
∴在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形B₁BDE为平行四边形，
∴B1B

∥ .

.

ED，又B1B

∥ .

.

A1A，∴ED

∥ .

.

A1A，∴四边形A₁ADE为平行四边形．（12分）
∴A₁E∥AD，又A₁E?平面ADC₁，AD?平面ADC₁，
∴A₁E∥平面ADC₁．（14分）

点评：本小题主要考查直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．