Question

电梯内有6人，其中4个普通人，2个逃犯．将6人逐一抓出并审查，直至2个逃犯都被查出为止．假设每次每人被抓出的概率相同，且逃犯被抓出等于被查出，以ξ表示电梯内还剩下的普通人的个数．（1）求ξ的分布列（不写计算过程）．（2）求数学期望Eξ．（3）求概率P（ξ≥Eξ）．

Answer 1

分析：（1）由题设知，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ=0）=

C 4 4 C 1 2

C 5 6

×1=

1

3

，P（ξ=1）=

C 3 4 C 1 2

C 4 6

×

1

2

=

4

15

，P（ξ=2）=

C 2 4 • C 1 2

C 3 6

×

1

3

=

3

15

，P（ξ=3）=

C 1 4 C 1 2

C 2 6

×

1

4

=

2

15

，P（ξ=4）=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

．由此能求出ξ的分布列．
（2）利用ξ的分布列能够求出Eξ．
（3）P（ξ≥Eξ）=P（ξ≥

4

3

）=P（ξ=2）+P（ξ=3）+P（ξ=4），由此能求出其结果．

解答：解：（1）由题设知，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

C 4 4 C 1 2

C 5 6

×1=

1

3

，
P（ξ=1）=

C 3 4 C 1 2

C 4 6

×

1

2

=

4

15

，
P（ξ=2）=

C 2 4 • C 1 2

C 3 6

×

1

3

=

3

15

，
P（ξ=3）=

C 1 4 C 1 2

C 2 6

×

1

4

=

2

15

，
P（ξ=4）=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	5 15	4 15	3 15	2 15	1 15

（2）Eξ=0×

5

15

+1×

4

15

+2×

3

15

+3×

2

15

+4×

1

15

=

4

3

．
（3）P（ξ≥Eξ）=P（ξ≥

4

3

）
=P（ξ=2）+P（ξ=3）+P（ξ=4）
=

3

15

+

2

15

+

1

15

=

2

5

．

点评：本题考查离型随机变量的数学期望和分布列，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率的性质和应用．