Question

如图，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC=，BB₁＝3，D为A₁C₁的中点，F在线段AA₁上．

（1）AF为何值时，CF⊥平面B₁DF？

（2）设AF＝1，求平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

解：（1）因为直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，以B点为原点，BA、BC、BB₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

       因为AC＝2，∠ABC＝90º，所以AB＝BC＝，

从而B(0，0，0)，A，C，B₁(0，0，3)，A₁，C₁，D，E．

       所以，

      

设AF＝x，则F(，0，x)，

              .

              ，所以

       要使CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F.

       由＝2＋x（x－3）＝0，得x＝1或x＝2，

       故当AF＝1或2时，CF⊥平面B₁DF．…………………………………………………… 5分

       （2）由（1）知平面ABC的法向量为n₁=（0，0，1）．

       设平面B₁CF的法向量为，则由得

       令z=1得，

       所以平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值10分