Question

【题目】已知函数，.

（1）若函数存在两个极值，求的取值范围；并证明：函数存在唯一零点.

（2）若存在实数，，使，且，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)；证明见解析；(2)

【解析】

(1)求出的导数，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解出即得的范围；令

，求出，得到至多有一个零点，再验证，即可证明；

(2)求出，以及，设，记，根据导数与单调性，最值的应用，即可求解.

由题意，

所以方程有两个不相等的正实数根，不妨设，则

，解得：，

所以的取值范围为；

由题易知在处取得极大值，当处取得极小值，且有

，故，

令，故，

令，解得，

由导数与函数的最值可知：

故，所以至多有一个零点，

又因，

所以函数存在唯一零点；

由题意知：，

即，

故，

设，记

则，

所以在定义域上单调递减，所以，

即，

故的取值范围.为.