Question

（2012•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是

①②③

（写出所有正确命题的编号）．
①若ab＞c²，则C＜

π

3

②若a+b＞2c，则C＜

π

3

③若a³+b³=c³，则C＜

π

2

④若（a+b）c=2ab，则C＞

π

2

⑤若（a²+b²）c²=2a²b²，则C＞

π

3

．

Answer 1

分析：①利用余弦定理，将c²放大为ab，再结合均值定理即可证明cosC＞

1

2

，从而证明C＜

π

3

；②利用余弦定理，将c²放大为（

a+b

2

）²，再结合均值定理即可证明cosC＞

1

2

，从而证明C＜

π

3

；③利用反证法，假设C≥

π

2

时，推出与题设矛盾，即可证明此命题正确；④⑤只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形

解答：解：①ab＞c²⇒cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞

2ab-ab

2ab

=

1

2

⇒C＜

π

3

，故①正确；
②a+b＞2c⇒cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞

4(a2+b2)-(a+b)2

8ab

≥

8ab-4ab

8ab

=

1

2

⇒C＜

π

3

，故②正确；
③当C≥

π

2

时，c²≥a²+b²⇒c³≥ca²+cb²＞a³+b³与a³+b³=c³矛盾，故③正确；
④取a=b=c=2，满足（a+b）c=2ab得：C=

π

3

＜

π

2

，故④错误；
⑤取a=b=c=

2

，满足（a²+b²）c²=2a²b²，此时有C=

π

3

，故⑤错误
故答案为①②③

点评：本题主要考查了解三角形的知识，放缩法证明不等式的技巧，反证法和举反例法证明不等式，有一定的难度，属中档题