Question

已知抛物线，为坐标原点.
（Ⅰ）过点作两相互垂直的弦,设的横坐标为，用表示△的面积，并求△面积的最小值；
（Ⅱ）过抛物线上一点引圆的两条切线,分别交抛物线于点, 连接，求直线的斜率.

Answer 1

（Ⅰ）当时，△面积取得最小值1.
（Ⅱ）直线的斜率为.

(I)先设,根据得.
因为 所以，然后求出|OM|,|ON|的长，再利用面积公式求出面积S关于m的表达式，再利用求函数最值的方法求最值即可.
(II) 设，直线AB的方程为，
AC的方程为.因为 直线与圆相切，
所以 .,所以 .
所以 是方程的两根.(*)
然后由方程组得.
所以 ，同理可得：.
所以直线的斜率为.从而根据（*）和韦达定理即可求出BC的斜率值.