Question

（2012•荆州模拟）已知数列{a_n}中，a₁=21，a₅=9，满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设s_n=|a₁|+|a₂|+…|a_n|，求S_n
（3）若bn=

1

n(27-an)

，数列{b_n}的前n项和为T_n，是否存在最大的整数p，使得对任意（n∈N*）均有Tn＞

p

36

成立？若存在，求出p，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由an+2-2an+1+an=0，(n∈N*)，知{a_n}是等差数列．由a₁=21，a₅=9得：d=

a5-a1

5-1

=-3，由此能求出a_n．
（2）当n≤8时，a_n≥0．n≥9时，a_n＜0．当n≤8时，Sn=a1+a2+…+an=

n(21+24-3n)

2

=-

3n2

2

+

45n

2

，当n≥9时，Sn=a1+a2+…+a8-a9-…-an=-Sn+2S8=

3n2

2

-

45n

2

+168，由此能求出S_n．
（3）由bn=

1

n(27-an)

=

1

n(3n+3)

=

1

3

•

1

n(n+1)

=

1

3

•(

1

n

-

1

n+1

)，知Tn=b1+b2+…+bn=

1

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

3

•(1-

1

n+1

)，由此能求出存在最大的整数p=5，使得对任意n∈N^*，均有Tn＞

p

36

成立．

解答：解：（1）由an+2-2an+1+an=0，(n∈N*)，
知{a_n}是等差数列．
由a₁=21，a₅=9得：d=

a5-a1

5-1

=-3，
∴a_n=24-3n．
（2）当n≤8时，a_n≥0．n≥9时，a_n＜0．
当n≤8时，Sn=a1+a2+…+an=

n(21+24-3n)

2

=-

3n2

2

+

45n

2

当n≥9时，Sn=a1+a2+…+a8-a9-…-an=-Sn+2S8=

3n2

2

-

45n

2

+168，
∴Sn=

- 3n2 2 + 45n 2 (n≤8) 3n2 2 - 45n 2 +168(n≥9)

（3）bn=

1

n(27-an)

=

1

n(3n+3)

=

1

3

•

1

n(n+1)

=

1

3

•(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Tn=b1+b2+…+bn=

1

3

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

3

•(1-

1

n+1

)
由对任意n∈N^*，均有Tn＞

p

36

成立知，

p

36

＜(Tn)min，
又当n=1时，(Tn)min=

1

6

，
∴p＜6，故存在最大的整数p=5，使得对任意n∈N^*，均有Tn＞

p

36

成立．

点评：本题考查数列通项公式和数列前n项和的求法，探索最大整数是否存在．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．