题目内容

已知椭圆E的方程是 $数学公式$ （a＞b＞0），其左顶点为（-2，0），离心率e= $数学公式$ ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知倾斜角为45°且过右焦点的直线l交椭圆E于A、B两点，若椭圆上存在一点P，使 $数学公式$ =λ（ $数学公式$ + $数学公式$ ），试求λ的值．

解：（1）由已知得a=2，e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴c=1，b= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴椭圆E的方程为 $\text{[math]}$ =1．
（2）由（1）得右焦点F（1，0），因此直线l的方程为y=x-1．
代入椭圆方程并整理得7x²-8x-8=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，
∴y₁+y₂=（x₁-1）+（x₂-1）=（x₁+x₂）-2=- $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ =λ（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=λ（x₁+x₂，y₁+y₂）=λ（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），
∴P点坐标为（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），
代入椭圆方程，可得 $\text{[math]}$ =1，
∴ $\text{[math]}$ ，解得λ= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用椭圆左顶点为（-2，0），离心率e= $\text{[math]}$ ，结合b= $\text{[math]}$ ，求出几何量，即可求椭圆E的方程；
（2）确定直线l的方程，代入椭圆方程并整理，利用韦达定理，结合 $\text{[math]}$ =λ（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），求出P的坐标，代入椭圆方程，即可求λ的值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．