Question

已知椭圆E的中心是坐标原点，焦点在坐标轴上，且椭圆过点A（-2，0），B（2，0），C（1，

3

2

）三点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点D为椭圆E上不同于A，B的任意一点，F（-1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线l：y=k（x+4），（k≠0）与椭圆E交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为P，试问直线PN能否过定点F（-1，0），若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由a=2及把点C（1，

3

2

）代入椭圆方程即可得出；
（2）设△DFH内切圆的半径为r，则S_△DFH=

r

2

(|DF|+|DH|+|FH|)=

1

2

|FH|•|yD|．利用椭圆的定义可得|DF|+|DH|=2a=4，可得r=

1

3

|yD|，当且仅当D为椭圆的短轴的端点时，r取得最大值．
（3）把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设M（x₁，y₁）N(x2，

y

2

)，只要证明k_MF+k_NF=0即可．

解答：解：（1）由题意可设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），可得

a=2 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得

a=2 b2=3

．
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设△DFH内切圆的半径为r，则S_△DFH=

r

2

(|DF|+|DH|+|FH|)=

1

2

|FH|•|yD|．
∵|DF|+|DH|=2a=4，|FH|=2，
∴r=

1

3

|yD|，当且仅当yD=±

3

即D为椭圆的短轴的端点时，r=

3

3

取得最大值．
此时内切圆圆心的坐标为(0，±

3

3

)．
（3）联立

y=k(x+4) x2 4 + y2 3 =1

消去y得：（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0．
∴x1+x2=-

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

．
设M（x₁，y₁）N(x2，

y

2

)，k_MF+k_NF=

y1

x1+1

+

y2

x2+1

=k•

(x2+4)(x1+1)+(x1+4)(x2+1)

(x1+1)(x2+1)

=k

2x1x2+5(x1+x2)+8

(x1+1)(x2+1)

=0
直线PN能否过定点F（-1，0）

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为根与系数的关系、斜率计算公式、三角形的内切圆与三角形的面积计算公式等是解题的关键．