Question

若数列的前项和是二项展开式中各项系数的和．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，且，求数列 的通

项及其前项和；

（III）求证：．

Answer 1

，

解析:

解：（Ⅰ）由题意,                -----------------------------------------------------2分

,

        两式相减得．                --------------------3分

        当时，,

∴．            --------------------------------------------------4分

（Ⅱ）∵，

∴,

       ,

  ,

  ………

  ．

以上各式相加得

.

∵  ,

∴.       -----------------------------------------------------------------6分

∴．     -------------------------------------------------7分

∴,

∴.

∴.

        

         =.

∴．  -------------------------------------------------------------9分

（3）=

                    =4+

                       

                    =

                    ．  -------------------------------------------12分

        ∵,  ∴ 需证明，用数学归纳法证明如下：

        ①当时，成立．

        ②假设时，命题成立即，

        那么，当时，成立．

        由①、②可得，对于都有成立．

       ∴．

       ∴．---------------------------------------------------------------------------13分