Question

(本小题满分12分)

若数列的前项和是二项展开式中各项系数的和．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，且，求数列 的通项及其前项和；

（III）求证：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ），

（III）证明见解析

【解析】（Ⅰ）由题意, ,两式相减得．3分

    当时，,∴．         -------4分

（Ⅱ）∵，∴, ,,………

  ．以上各式相加得.

∵  ,∴.  ---  -6分∴． -----7分

∴,

∴.

∴.

 =.  ∴． ----------9分

（3）=

  =4+

=．   ∵,  ∴ 需证明，用数学归纳法证明如下：

  ①当时，成立     ②假设时，命题成立即，

  那么，当时，成立．

 由①、②可得，对于都有成立．

∴．  ∴．---12分