Question

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）．
（i）若，求直线l的倾斜角；
（ii）若点Q（0，y）在线段AB的垂直平分线上，且．求y的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由离心率求得a和c的关系，进而根据c²=a²-b²求得a和b的关系，进而根据求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）（i）由（1）可求得A点的坐标，设出点B的坐标和直线l的斜率，表示出直线l的方程与椭圆方程联立，消去y，由韦达定理求得点B的横坐标的表达式，进而利用直线方程求得其纵坐标表达式，表示出|AB|进而求得k，则直线的斜率可得．
（ii）设线段AB的中点为M，由（i）可表示M的坐标，看当k=0时点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，进而根据求得y；当k≠0时，可表示出线段AB的垂直平分线方程，令x=0得到y的表达式根据求得y；综合答案可得．
解答：解：（Ⅰ）由e=，得3a²=4c²．
再由c²=a²-b²，解得a=2b．
由题意可知，即ab=2．
解方程组得a=2，b=1．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2，0）．
设点B的坐标为（x₁，y₁），直线l的斜率为k．
则直线l的方程为y=k（x+2）．
于是A、B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0．
由，得．从而．
所以．
由，得．
整理得32k⁴-9k²-23=0，即（k²-1）（32k²+23）=0，解得k=±1．
所以直线l的倾斜角为或．
（ii）设线段AB的中点为M，
由（i）得到M的坐标为．
以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B的坐标是（2，0），
线段AB的垂直平分线为y轴，
于是．
由，得．
（2）当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为
．
令x=0，解得．
由，，

=
=，
整理得7k²=2．故．
所以．
综上，或．
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力．