Question

如图一，平面四边形关于直线对称，．
把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于．对于图二，
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）
（2）略
（3）

解：（Ⅰ）取的中点，连接，
由，得：                                      
就是二面角的平面角，……………………2分
在中，
 ………………………………………4分                                                                                                                    
（Ⅱ）由，
 
，  又平面．………………8分
（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面
∴平面平面平面平面，
作交于，则平面，
就是与平面所成的角．……12分
方法二：设点到平面的距离为，
∵             
 于是与平面所成角的正弦为  ．
方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，
则．
设平面的法向量为，则
， ，
取，则， 于是与平面所成角的正弦即
．