Question

设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函数图象上任意两点，且x₁+x₂=1．
（Ⅰ）求y₁+y₂的值；
（Ⅱ）若（其中n∈N^*），求T_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设（n∈N^*），若不等式a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_2n-1＞log_a（1-2a）对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据已知条件A，B在函数f（x）上，代入求出y₁和y₂，再利用x₁+x₂=1进行化简求值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=2，利用倒叙相加法进行求和；
（Ⅲ）根据已知条件利用（n∈N）将要证明的命题进行转化，只要求出的最小值即可；
解答：解：（Ⅰ）∵A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函数图象上任意两点，且x₁+x₂=1．
y₁+y₂=
====2．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=2，
由得，，
∴，
∴T_n=n+1．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，，不等式a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_2n-1＞log_a（1-2a）即为，
设H_n=，
则 H_n+1=，
∴，
∴数列{H_n}是单调递增数列，
∴（H_n）_min=T₁=1，（10分）
要使不等式恒成立，只需log_a（1-2a）＜1，
即log_a（1-2a）＜log_aa，
∴或
解得．
故使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围是．（12分）
点评：此题考查函数的恒成立问题以及函数的数列特性，是一道综合题，本题计算量比较大，考查学生的计算能力，考查的知识点也比较全面；