Question

已知直线l交椭圆

x2

20

+

y2

16

=1于B、C两点，点A（0，4），且椭圆右焦点F₂恰为△ABC的重心，则直线l的方程为

6x+5y-8=0

．

Answer 1

分析：先由椭圆右焦点F₂恰为△ABC的重心，得相交弦BC的中点坐标，再由点B、C在椭圆上，利用点差法，将中点坐标代入即可的直线l的斜率，最后由直线方程的点斜式写出直线方程即可．

解答：解：设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），椭圆

x2

20

+

y2

16

=1的右焦点为（2，0）
∵点A（0，4），且椭圆右焦点F₂恰为△ABC的重心
∴

x1+x2+0

3

=2，

y1+y2+4

3

=0
∴x₁+x₂=6，y₁+y₂=-4     ①
∵

x 12

20

+

y 12

16

=1，

x 22

20

+

y 22

16

=1
∴两式相减得：

(x1+x2)(x1-x2)

20

+

(y1+y2)(y1-y2)

16

=0
将①代入得：

y1-y2

x1-x2

=

6

5

，即直线l的斜率为k=

6

5

∵直线l 过BC中点（3，-2）
∴直线l的方程为y+2=

6

5

（x-3）
故答案为6x-5y-28=0

点评：本题考查了椭圆的标准方程及几何意义，直线与椭圆的位置关系，特别注意当已知相交弦中点时点差法的运用，体会设而不求的解题思想