Question

已知直线l为椭圆x²＋4y²＝4的切线，并与坐标轴交于A、B两点，试求|AB|的最小值；若椭圆和圆C：(x－1)²＋y²＝r²永远相交，试求r的最小值和最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：设切线方程为y＝kx＋m，由得 　　(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0． 　　由Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)＝0，得m2＝4k2＋1， 　　由A(0，m)，B(，0)得|AB|2＝＋4k2＋5≥9， 　　∴|AB|的最小值为3． 　　由得． 　　又∵－2≤x≤2，∴当x＝时， 　　r最小为，当x＝－2时，r最大为3， 　　即|AB|的最小值为3；所求r的最小值为，r的最大值为3．

提示：

求两曲线的交点坐标可由方程组的解得到．利用抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离可转化为到准线的距离，得到d＝y1＋y2＋2，欲求d的最值，需表示出y1＋y2，自然联想到韦达定理，从而设出l的方程与抛物线方程组成方程组求解．解题时要充分挖掘题中的隐含条件，并利用好图形帮助分析解题的途径．