Question

设抛物线y²=4x的一条弦AB以点P（1，1）为中点，则弦AB的长为

15

．

Answer 1

分析：设出A，B坐标，分别代入抛物线方程，两式相减整理，利用中点的纵坐标求得直线AB的斜率，从而得出直线AB的方程，最后联立方程组求解即可．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
代入抛物线方程得y₁²=4x₁，①，y₂²=4x₂，②，
①-②整理得k=

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

=2，
故AB的方程为：y-1=2（x-1），即y=2x-1，代入抛物线y²=4x的方程得：
4x²-8x+1=0，
则x₁+x₂=2，x₁x₂=

1

4

，
则|AB|=

(1+k2)[(

x1+x2)2-4x1x2]=

5(22-4× 1 4 )

=

15

．
故答案为：

15

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．涉及曲线弦的中点和斜率时，一般可采用点差法，设出交点的坐标代入曲线方程，相减后整理出直线斜率与中点坐标的关系．