题目内容
设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（-1，0）的直线在第一象限交抛物线于A、B，使
•
=0，则直线AB的斜率k=（ ）
| AF |
| BF |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
分析：由题意可得直线AB的方程 y-0=k （x+1），k＞0，代入抛物线y2=4x化简求得x1+x2 和x1•x2，进而得到y1+y2和y1•y2，由
•
=0，解方程求得k的值．
| AF |
| BF |
解答：解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），直线AB的方程 y-0=k （x+1），k＞0．
代入抛物线y2=4x化简可得 k2x2+（2k2-4）x+k2=0，
∴x1+x2=
，x1•x2=1．
∴y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=
×k+2k=
，
y1•y2=k2（x1+x2+x1•x2+1）=4．
又
•
=0=（x1-1，y1）•（x2-1，y2）=x1•x2-（x1+x2）+1+y1•y2=8-
，
∴k=
，
故选B．
代入抛物线y2=4x化简可得 k2x2+（2k2-4）x+k2=0，
∴x1+x2=
| -(2k2- 4) |
| k2 |
∴y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=
| -(2k2- 4) |
| k2 |
| k |
| 4 |
y1•y2=k2（x1+x2+x1•x2+1）=4．
又
| AF |
| BF |
| 4 |
| k2 |
∴k=
| ||
| 2 |
故选B．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，两个向量的数量积公式的应用，得到 8-
=0，是解题的难点和关键．
| 4 |
| k2 |
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