题目内容

对于椭圆x2+，是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰好被直线x+=0平分？若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由.

解：设l的方程为y=kx+m,

由得(k2+9)x2+2kmx+m2-9=0,

所以Δ=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)＞0,

即m2-k2-9＜0.

又,

所以m=.

所以-(k2+9)＜0.

解得k2＞3,即k＞或k＜-,

所以倾斜角又满足＜α＜或＜α＜,即满足条件的直线l存在，其倾斜角的范围是（,）∪(,).

练习册系列答案
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已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2
5
，点(
5
，
4
3
)在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上的一点p在第一象限，且满足PF1⊥PF2，⊙O的方程为x2+y2=4．求点p坐标，并判断直线pF2与⊙O的位置关系；
（3）设点A为椭圆的左顶点，是否存在不同于点A的定点B，对于⊙O上任意一点M，都有
MB
MA
为常数，若存在，求所有满足条件的点B的坐标；若不存在，说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）与双曲线x2-y2=1有共同的焦点F1、F2，设它们在第一象限的交点为P，且PF1⊥PF2
（1）求椭圆的方程；
（2）已知N（0，-1），对于（1）中的椭圆，是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，与椭圆交于不同的两点A、B，点Q满足
AQ
=
QB
，且
NQ
•
AB
=0？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
（2010•南京三模）在直角坐标系xOy中，椭圆
x2
9
+
y2
4
=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A为椭圆的左顶点，椭圆上的点P在第一象限，PF1⊥PF2，⊙O的方程为x2+y2=4
（1）求点P坐标，并判断直线PF2与⊙O的位置关系；
（2）是否存在不同于点A的定点B，对于⊙O上任意一点M，都有
MB
MA
为常数，若存在，求所以满足条件的点B的坐标；若不存在，说明理由．
对于椭圆x2+=1,是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰好被直线x+=0平分,若存在,求出l的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由.

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