Question

已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2

5

，点(

5

，

4

3

)在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上的一点p在第一象限，且满足PF₁⊥PF₂，⊙O的方程为x²+y²=4．求点p坐标，并判断直线pF₂与⊙O的位置关系；
（3）设点A为椭圆的左顶点，是否存在不同于点A的定点B，对于⊙O上任意一点M，都有

MB

MA

为常数，若存在，求所有满足条件的点B的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆的标准方程，根据题意可求得焦点坐标，根据椭圆的定义和点（

5

，

4

3

）求得2a，进而根据a和c求得b，则椭圆的方程可得．
（2）设点P的坐标为（x，y），根据PF₁⊥PF₂，可得

PF1

•

PF2

=0，把x和y代入整理可得方程与椭圆方程联立求得x和y，即点P的坐标．进而可得直线PF₂的方程，进而可求得⊙O圆心O到直线PF₂的距离正好等于半径，进而推断直线PF₂与⊙O相切．
（3）设点M的坐标为（x，y），假设存在点B（m，n），对于⊙O上任意一点M，都有

MB

MA

为常数，则可表示出|MB|²和|MA|²，代入

MB

MA

中，进而可得求得m，n和λ，求得点B的坐标．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），由题意可得：
椭圆C两焦点坐标分别为F₁（-

5

，0），F₂（

5

，0）
由点（

5

，

4

3

）在该椭圆上，
∴2a=

20+ 16 9

+

0+ 16 9

=6．
∴a=3
又c=

5

得b²=9-5=4，
故椭圆的方程为

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）设点P的坐标为（x，y）（x＞0，y＞0），则为

x2

9

+

y2

4

．①
由PF₁⊥PF₂，得

PF1

•

PF2

=0∴（x+

5

）（x-

5

）+y²=0
即x²+y²=5②
由①②联立结合x＞0，y＞0解得：x=

3 5

5

，y=

4 5

5

，即点P的坐标为（

3 5

5

，

4 5

5

）
∴直线PF₂的方程为2x+y-2

5

=0
∵圆x²+y²=4的圆心O到直线PF₂的距离d=

2 5

5

=2
∴直线PF₂与⊙O相切
（3）设点M的坐标为（x，y），则x²+y²=4
假设存在点B（m，n），对于⊙O上任意一点M，都有

MB

MA

为常数，则
|MB|²=（x-m）²+（y-n）²，|MA|²=（x+3）²+y²
∴

(x-m)2+(y-n) 2

(x+3)2+y2

=λ（常数）恒成立
可得（6λ+2m）x+2ny+13λ-m²-n²-4=0
∴

3λ+m=0 2n=0 13λ-m2-n2-4=0

∴

λ= 4 9 m=- 4 3 n=0

或

λ=1 m=-3 n=0

（不合舍去）
∴存在满足条件的点B，它的坐标为（-

4

3

，0）．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆与圆的关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．