题目内容
【题目】如图所示，在平面直角坐标系
上放置一个边长为1的正方形
，此正方形沿
轴滚动（向左或者向右均可），滚动开始时，点
在原点处，例如：向右滚动时，点的轨迹起初时以点
为圆心，1为半径的
圆弧，然后以点
与轴交点为圆心，
长度为半径……，设点
的纵坐标与横坐标的函数关系式是
，该函数相邻两个零点之间的距离为
.
（1）写出的值，并求出当
时，点轨迹与轴所围成的图形的面积
，研究该函数的性质并填写下面的表格：
函数性质 | 结论 | |
奇偶性 | ||
单调性 | 递增区间 | |
递减区间 | ||
零点 | ||
（2）已知方程
在区间
上有11个根，求实数
的取值范围
（3）写出函数
的表达式.
【答案】（1）
，性质如表：
函数性质 | 结论 | |
奇偶性 | 偶函数 | |
单调性 | 递增区间 |
|
递减区间 |
| |
零点 |
| |
（2）
（3）
【解析】
（1）做出点
的轨迹示意图如下图1所示，可得该函数相邻两个零点之间的距离，点轨迹与
轴所围成的图形的面积，函数
的奇偶性，单调区间和零点；
（2）令
，则函数都是偶函数，且两个函数一定交于原点，要使方程
在区间
上有11个根，只需两函数在
上有5个交点，分别得出
和
时，函数
的解析式，再代入方程
中，对
进行参变分离转化为求函数的最值问题，从而可得范围；
（3）通过点的轨迹示意图1可知，当
时，点的轨迹是以点
为圆心，
为半径的
圆弧，当
时，点的轨迹是以点
为圆心，
为半径的
圆弧，当
时，点的轨迹是以点
为圆心，为半径的圆弧，当
时，点的轨迹是以点
为圆心，为半径的圆弧，可得函数
的解析式.
（1）点的轨迹如下图1所示，所以该函数相邻两个零点之间的距离为
，
在当
时，点轨迹与轴所围成的图形的面积
，
所以
，
由图示可以得函数是偶函数，
在
上单调递增，在
上单调递减，
函数的零点是
.得下表：
函数性质 | 结论 | |
奇偶性 | 偶函数 | |
单调性 | 递增区间 |
|
递减区间 |
| |
零点 |
| |
（2）令，则函数都是偶函数，且两个函数一定交于原点，
要使方程在区间上有11个根，只需两函数在上有5个交点，做出图像如下图2，
当时，
，依题意需方程
在有两个根，
对进行参变分离得
，令
，则
，对称轴
，
当
时，
，
当时，
，
当
时，
，
要使方程在有两个根，
则需
与
在有两个交点，且
，
所以
，解得
；
当时，
，依题意需方程
在有两个根，
对进行参变分离得
，
令
，则
，对称轴
，
当
时，
，
当时，
，
当
时，
，
要使方程在有两个根，
则需与
在有两个交点，且，
所以
，解得
，
又
，所以实数的取值范围是
；
（3）通过图1可知，
当时，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧，所以
，
当时，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧，所以
，
当时，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧，所以
，
当时，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧，所以，
，
所以函数.
名校课堂系列答案
【题目】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2015年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表：
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
温差x（℃） | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数y（颗） | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程
bx+a；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？
，
．
