Question

（本小题满分13分）如图，三棱柱中，，，．

（1）证明：；

（2）若，，求三棱锥的体积．

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）1.

【解析】

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，在等腰三角形中，O为AB中点，所以CO为高，由已知可得为等边三角形，所以得到，所以利用线面垂直的判定得平面，最后利用线面垂直的性质得；第二问，在等边和中，先解出CO和的长，判断得出是直角三角形，所以得证平面，再利用三棱锥的体积公式计算即可.

试题解析：（1）证明：取的中点，连接，，．

，故， 2分

又，．

为等边三角形．

， 4分

又因为平面，平面，．

平面． 6分

又平面，因此； 7分

（2）【解析】
在等边中，在等边中；

在中．

是直角三角形，且，故． 9分

又、平面，，

平面．

故是三棱锥的高． 10分

又．

三棱锥的体积．

三棱锥的体积为1． 13分

考点：线线垂直、线面垂直、三棱锥的体积.