题目内容

已知f(x)=cos2x-sinx(sinx-2
3
cosx)，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f(x)=
8
5
，且x∈[
π
4
，
π
2
]，求sin2x的值．
分析：（1）利用二倍角公式和两角和差的正弦公式化简函数的解析式为 2sin（2x+
π
6
），由最小正周期 T=
2π
ω
 求出结果．
（2）由题意可得sin（2x+
π
6
）=
4
5
，再由x∈[
π
4
，
π
2
]，可得cos（2x+
π
6
）=-
3
5
，根据sin2x=sin[（2x+
π
6
）-
π
6
]，利用两角差的正弦公式求出结果．
解答：解：（1）∵f(x)=cos2x-sinx(sinx-2
3
cosx)=cos2x-sin2x+2
3
sinxcosx=cos2x+
3
sin2x=2sin（2x+
π
6
），
故函数的最小正周期 T=
2π
ω
=π．
（2）∵f(x)=
8
5
，且x∈[
π
4
，
π
2
]，∴sin（2x+
π
6
）=
4
5
．  又x∈[
π
4
，
π
2
]，∴cos（2x+
π
6
）=-
3
5
．
∴sin2x=sin[（2x+
π
6
）-
π
6
]=sin（2x+
π
6
） cos
π
6
-cos（2x+
π
6
） sin
π
6
=
4
3
+3
10
．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，三角函数的周期性及求法，二倍角公式的应用，化简函数的解析式为 2sin（2x+
π
6
），是解题的突破口．
练习册系列答案
相关题目
已知f(x)=cos(ωx+
π
3
)，(ω＞0)的图象与y=1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y=f（x）的图象，只须把y=sinωx的图象（　　）
A、向左平移
5
12
π个单位
B、向右平移
5
12
π个单位
C、向左平移
11
12
π个单位
D、向右平移
11
12
π个单位
已知f(x)=
cos(πx)           x≤0 
f(x-1)+1     x＞0
，则f(
4
3
)+f(-
4
3
)的值为（　　）
A、-2B、-1C、1D、2
已知f(x)=
-cosπx      x＞0
f(x+1)+1  x≤0
，则f（
4
3
）+f（-
3
4
）的值等于
3-
2
2
3-
2
2
．
已知f(x)=(
cosα
sinβ
)x+(
cosβ
sinα
)x (x＞0)，α，  β∈(0，  
π
2
)，若f（x）＜2，则（　　）
已知f(x)=
cosπx(x＜1)
f(x-1)-1(x＞1)
则f(
1
3
)+f(
4
3
)=
0
0
．

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