Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE为菱形，∠BAD=120°，PA=AB，G，F分别是线段CE，PB上的动点，且满足

PF

PB

=

CG

CE

=λ∈(0，1)．
（1）求证：PG∥平面PDC；
（2）求λ的值，使得二面角F-CD-G的余弦值为

3 13

13

．

Answer 1

分析：（1）在平面PBC内过点F作直线FM∥PC，交BC于点M，连接MG，BE，则有

PF

PB

=

CM

CB

，由

PF

PB

=

CG

CE

，知GM∥BE，由E为AD的中点，ABCE为菱形，知BC∥DE，BC=DE，由此能够证明FG∥平面PDC．
（2）取BC的中点为K，以点A为原点，射线AK为x轴正半轴，AD为y轴正半轴，建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=2，由

PF

PB

 =

CG

CE

=λ，得F(

3

λ，-λ，2-2λ)，G(

3

-

3

λ ，1+λ，0)，

FC

=(

3

-

3

λ，1+λ，-2+2λ)，

CD

=(-

3

，3，0)，设平面FCD的法向量

n1

=(x1 ，y1，z1)，由

n1

•

FC

=0，

n1

•

CD

=0，得

n1

=(

3

，1，

2-λ

1-λ

)，由平面GCD的法向量

n2

=(0，0，1)，二面角F-CD-G的余弦值为

3 13

13

，知|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

2-λ 1-λ

4+( 2-λ 1-λ )2 •1

|=

3 13

3

，由此能求出λ．

解答：（1）证明：在平面PBC内过点F作直线FM∥PC，交BC于点M，
连接MG，BE，则有

PF

PB

=

CM

CB

，
∵

PF

PB

=

CG

CE

，∴

CM

CB

=

CG

CE

，∴GM∥BE，
∵E为AD的中点，ABCE为菱形，
∴BC∥DE，BC=DE，
∴CD∥BE∥GM，
∵FM∥PC，FM∩MG=M，且CD∩PC=C，
∴平面FGM∥平面PDC，
∵FG?平面FGM，∴FG∥平面PDC．

（2）解：取BC的中点为K，以点A为原点，射线AK为x轴正半轴，AD为y轴正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设PA=2，则A（0，0，0），P（0，0，2），D（0，4，0），
由

PF

PB

 =

CG

CE

=λ，得F(

3

λ，-λ，2-2λ)，G(

3

-

3

λ ，1+λ，0)，

FC

=(

3

-

3

λ，1+λ，-2+2λ)，

CD

=(-

3

，3，0)，
设平面FCD的法向量

n1

=(x1 ，y1，z1)，则

n1

•

FC

=0，

n1

•

CD

=0，
即

( 3 - 3 λ)x1+(1+λ)y1+(-2+2λ)z1=0 - 3 x1+3y1=0

，
∴

n1

=(

3

，1，

2-λ

1-λ

)，
∵平面GCD的法向量

n2

=(0，0，1)，二面角F-CD-G的余弦值为

3 13

13

，
∴|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

2-λ 1-λ

4+( 2-λ 1-λ )2 •1

|=

3 13

3

，
整理，得8λ²-14λ+5=0，
解得λ=

1

2

，或λ=

5

4

，
∵0＜λ＜1，∴λ=

1

2

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，求实数的值，使得二面角的余弦值为定值．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．