Question

直三棱柱的侧棱长为2，一侧棱到对面的距离不小于1，从此三棱柱中去掉以此侧棱为直径的球所占的部分，余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等，则所剩几何体的体积最小值为______．

Answer 1

如图示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，∠BAC=α，AA₁=2，设AB=a，AC=b
由于从此三棱柱中去掉以此侧棱为直径的球所占的部分，余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等，
则

α

2π

×4π×(

2

2

)2=π×(

2

2

)2，所以α=

π

2

则所剩几何体的体积为2ab-

α

2π

×

4π

3

×(

2

2

)3=2ab-

π

3

又由一侧棱到对面的距离不小于1，则a≥1，b≥1
故所剩几何体的体积最小值为2-

π

3

故答案为 2-

π

3