Question

（1）求复数

3

-i的模和辐角的主值．
（2）解方程9^-x-2•3^1-x=27．
（3）已知sinθ=-

3

5

，3π＜θ＜

7π

2

，求tg

θ

2

的值．
（4）一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm和4cm，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积．
（5）求

lim

n→∞

3n2+2n

n2+3n-1

．

Answer 1

分析：本题分别涉及到复数，指数方程，三角函数，立体几何，极限等知识体系．

解答：解：（1） 由题意，|

3

-i|=2，
又

3

-i=2(

3

2

-

1

2

i)=2(cos

11π

6

+isin

11π

6

)
∴arg（

3

-i）=

11π

6

（2）设3^-x=t，（t＞0）则原方程化为
t²-6t-27=0
∴t=9或t=-3（舍去）
即3^-x=9
∴x=-2．

（3）∵sinθ=-

3

5

，3π＜θ＜

7π

2

∴tanθ=

3

4

∴

3

4

=tanθ=

2tan θ 2

1-tan2 θ 2

∴tan

θ

2

=-3或

1

3

又

3π

2

＜

θ

2

＜

7π

4

∴tan

θ

2

=-3．

（4）如图，由题意，旋转而形成的是以

12

5

为半径的圆为底形成的同底的两个圆锥．
∴V=

1

3

π×

122

52

×5=

48

5

πcm3．

（5）原式=

lim

n→∞

3+ 2 n

1+ 3 n - 1 n2

=3．

点评：本题考查到的知识点比较多，需要综合的能力解决相关问题．