Question

已知关于x的函数f(x)=x³-3tx+m(x∈R,t＞0,m为实常数)是奇函数.

(1)求实数m的值和函数f(x)的图象与x轴的交点坐标；

（2）设g(x)=|f(x)|(x∈［0,1］),求g(x)的最大值F(t).

Answer 1

解:（1）由于函数f(x)是奇函数，

所以f(-x)=-f(x)，解之得m=0.

设f(x)=x³-3tx=x(x²-3t)=0.

因为t＞0，所以上述方程的解为x₁=0，x₂=t，x₃=t.所以f(x)的图象与x轴的交点坐标分别为(0,0)、(-t,0)、(t,0).

（2）f′(x)=3(x²-t),

因为t＞0,所以在［0,1］上f′(x)=3(x+t)(x-).

①t≥1,即t≥1时，则f(x)在［0,1］上为减函数，

所以f(x)≤f(0)=0.所以g(x)=-f(x).

故F(t)=-f(1)=3t-1.

②0＜t＜1时，在［0,1］上f′(x)、f(x)、g(x)变化情况如下：

x	0	(0,)		(,1)	1
f′(x)		-	0	+
f(x)	0	↘	极小值	↗	1-3t
g(x)	0		2t		|1-3t|

当或1-3t＜0,即≤t＜1时，g(x)的最大值F（t）=2t.

当即0＜t＜时，g(x)的最大值F（t）=f(1)=1-3t.

综上，g(x)的最大值为F(t)=