Question

已知关于x的函数f（x）=x²+2ax+b（其中a，b∈R）
（Ⅰ）求函数|f（x）|的单调区间；
（Ⅱ）令t=a²-b．若存在实数m，使得|f(m)|≤

1

4

与|f(m+1)|≤

1

4

同时成立，求t的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）=（x+a）²-a²+b开口向上，但a²-b的正负不定，所以在取绝对值时要分类讨论．在每一种情况下分别求|f（x）|的单调区间．
（Ⅱ）存在实数m，使得|f(m)|≤

1

4

与|f(m+1)|≤

1

4

同时成立，即为两变量对应的函数值都小于等于

1

4

的两变量之间间隔不超过1，故须对a²-b和-

1

4

，

1

4

的大小分情况讨论，求出a²-b的取值范围，进而求得t的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+2ax+b=（x+a）²-（a²-b）
∴①当a²-b≤0时，单调区间为：（-∞，-a]上为减，[-a，+∞）上为增；（2分）
②当a²-b＞0时，单调区间为：(-∞，-a-

a2-b

)减，
(-a-

a2-b

，-a)增，(-a，-a+

a2-b

)减，(-a+

a2-b

，+∞)增（5分）
（Ⅱ）因为：若存在实数m，使得|f(m)|≤

1

4

与|f(m+1)|≤

1

4

同时成立，即为两变量对应的函数值都小于等于

1

4

的两变量之间间隔不超过1，故须对a²-b和-

1

4

，

1

4

的大小分情况讨论
①当-

1

4

≤a2-b≤0时，由方程x2+2ax+b=

1

4

，解得x1，2=-a±

a2-b+ 1 4

，
此时|x2-x1|=2

a2-b+ 1 4

≤1，不满足．（8分）
②当

1

4

＞a2-b＞0时，由方程x2+2ax+b=

1

4

，解得x1，2=-a±

a2-b+ 1 4

此时|x2-x1|=2

a2-b+ 1 4

∈(1，

2

)，满足题意．（11分）
③当a2-b≥

1

4

时，由方程x2+2ax+b=

1

4

，方程x2+2ax+b=-

1

4

和解得x1，2=-a±

a2-b+ 1 4

，x3，4=-a±

a2-b- 1 4

此时由于|x2-x1|=2

a2-b+ 1 4

∈[

2

，+∞)，|x3-x1|=

a2-b+ 1 4

-

a2-b- 1 4

=

1 2

a2-b+ 1 4 + a2-b- 1 4

≤

2

4

＜1
所以只要|x3-x4|=2

a2-b- 1 4

≤1即可，此时a2-b≤

1

2

，综上所述t的最大值为

1

2

．（16分）

点评：本题考查了数学上的分类讨论思想．分类讨论目的是，分解问题难度，化整为零，各个击破．