Question

【题目】已知函数 .

（1）当时，若函数恰有一个零点，求的取值范围；

（2）当时， 恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 或；(2) .

【解析】试题分析： 将当时代入，得，求导，分类讨论当时、当时、当时三种情况求出的取值范围(2)构造，求导，讨论、、三种情况，求出的取值范围

解析：（1）函数的定义域为.

当时， ，所以.

①当时， ， 时无零点.

②当时， ，所以在上单调递增，

取，则，

因为，所以，此时函数恰有一个零点.

③当时，令，解得.

当时， ，所以在上单调递减；

当时， ，所以在上单调递增.

要使函数有一个零点，则即.

综上所述，若函数恰有一个零点，则或.

（2）令 ，根据题意，当时， 恒成立.

又 .

①若，则时， 恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符题意.

②若，则时， 恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符题意.

③若，则时，恒有，故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，即，解得，故.

综上， 的取值范围是.