Question

【题目】已知称为，的二维平方平均数，称为，的二维算术平均数，称为，的二维几何平均数，称为，的二维调和平均数，其中，均为正数.

（1）试判断与的大小，并证明你的猜想.

（2）令，，试判断与的大小，并证明你的猜想.

（3）令，，，试判断、、三者之间的大小关系，并证明你的猜想.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题（1）用分析法结合基本不等式即可证得．（2） 用分析法结合基本不等式即可证得．（3）先证再证,均采用分析法结合基本不等式进行证明．

试题解析：解：（Ⅰ），采用分析法。欲证，即证，即证，即证，上式显然成立。

（Ⅱ）。欲证，即证，由均值不等式可得：

，等号成立的条件是，所以原命题成立．

（Ⅲ）。首先证明：欲证，即证，即证，即证，即证，即证，上式显然成立，等号成立的条件是，故．

再证：欲证，即证，即证，当时，上式显然成立，当时，即证，而此式子在证明已经成功证明，所以原命题成立。