题目内容
在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*，
（Ⅰ）证明数列{an-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn；
（Ⅲ）证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
（Ⅰ）证明数列{an-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn；
（Ⅲ）证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
（Ⅰ）证明：由题设
，
得
，n∈N*，
又
，
所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知
，
于是数列{an}的通项公式为
，
所以数列{an}的前n项和
；
（Ⅲ）证明：对任意的n∈N*，
，
所以不等式
，对任意n∈N*皆成立．
，得
，n∈N*，又
，所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知
，于是数列{an}的通项公式为
，所以数列{an}的前n项和
；（Ⅲ）证明：对任意的n∈N*，
，所以不等式
，对任意n∈N*皆成立．
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，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
（n∈N*）．
}的前n项和为Tn，证明：
．