题目内容
已知sinα+cosα=
，α∈(0，
)，sin(β-
)=
，β∈(
，
)，求cos（α+2β）的值．
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分析：由sinα+cosα=
，及sin2α+cos2α=1可求sinα，cosα，然后由sin（β-
）=
，β∈(
，
)可求cos（β-
），利用二倍角的正弦公式可求sin（2β-
）=2sin（β-
）cos（β-
），即可求cos2β，sin2β，最后再利用两角差的余弦公式cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β可求
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解答：解：∵sinα+cosα=
，α∈(0，
)，sin(β-
)=
，β∈(
，
)
又∴sin2α+cos2α=1
∴sinα=
，cosα=
∵sin（β-
）=
，β∈(
，
)
∴cos（β-
）=
∴sin（2β-
）=2sin（β-
）cos（β-
）=2×
×
=
即-cos2β=
∴cos2β=-
∴sin2β=
cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=
×(-
)-
×
=-
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又∴sin2α+cos2α=1
∴sinα=
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∵sin（β-
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∴cos（β-
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∴sin（2β-
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即-cos2β=
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∴cos2β=-
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∴sin2β=
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cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=
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点评：本题综合考查了同角平方关系、两角和与差的三角公式、诱导公式的综合应用，解题的关键是熟练应用基本公式
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