Question

已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx-sinx，2cosx）．
（I）求证：向量与向量不可能平行；
（II）若•=1，且x∈[-π，0]，求x的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先假设两个向量平行，利用平行向量的坐标表示，列出方程并用倍角和两角和正弦公式进行化简，求出一个角的正弦值，根据正弦值的范围推出矛盾，即证出假设不成立；
（II）利用向量数量积的坐标表示列出式子，并用倍角和两角和正弦公式进行化简，由条件和已知角的范围进行求值．
解答：解：（I）假设∥，则2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0，
1+cosxsinx+cos²x=0，即1+sin2x+=0，
∴sin（2x+）=-3，解得sin（2x+）=-＜-1，故不存在这种角满足条件，
故假设不成立，即与不可能平行．
（II）由题意得，•=（cosx+sinx）（cosx-sinx）+2cosxsinx=cos2x+sin2x=sin（2x+）=1，
∵x∈[-π，0]，∴-2π＜2x＜0，即＜，
∴=-或，解得x=或，
故x的值为：．
点评：本题考查了向量共线和数量积的坐标运算，主要利用了三角恒等变换的公式进行化简，对于存在性的题目一般是先假设成立，根据题意列出式子，再通过运算后推出矛盾，是向量和三角函数相结合的题目．