题目内容

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CC₁=2CB，∠ACB=90°，则直线BC₁与直线AB₁夹角的余弦值为________．

$\text{[math]}$
分析：根据题意可设CB=1，CA=CC₁=2，分别以CA、CC₁、CB为x轴、y轴和z轴建立坐标系，得到A、B、B₁、C₁四个点的坐标，从而得到向量的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC₁与直线AB₁夹角的余弦值．
解答：分别以CA、CC₁、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，

∵CA=CC₁=2CB，∴可设CB=1，CA=CC₁=2
∴A（2，0，0），B（0，0，1），B₁（0，2，1），C₁（0，2，0）
∴ $\text{[math]}$ =（0，2，-1）， $\text{[math]}$ =（-2，2，1）
可得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0×（-2）+2×2+（-1）×1=-3，且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =3，
向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角（或其补角）就是直线BC₁与直线AB₁夹角，
设直线BC₁与直线AB₁夹角为θ，则cosθ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查异面直线所成角的计算，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．