Question

12．已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n，且数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是公差为2的等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（-1）ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的通项公式，可得S_n=n（2n-1），再由n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得到所求通项；
（2）求得b_n=（-1）ⁿa_n=（-1）ⁿ•（4n-3）．讨论n为偶数，n为奇数，结合等差数列的求和公式计算即可得到所求和．

解答 解：（1）由数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是公差为2的等差数列，
可得$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+2（n-1）=2n-1，
即S_n=n（2n-1），
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（2n-1）-（n-1）（2n-3）=4n-3，
对n=1时，上式也成立．
故a_n=4n-3；
（2）b_n=（-1）ⁿa_n=（-1）ⁿ•（4n-3）．
当n为偶数时，前n项和T_n=-1+5-9+13-…-（4n-7）+（4n-3）
=4×$\frac{n}{2}$=2n；
当n为奇数时，前n项和T_n=T_n-1+（-4n+3）
=2（n-1）-4n+3=1-2n．
则T_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n，n为偶数}\\{1-2n，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和和分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．