Question

已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）定义：若函数在区间上的取值范围为，则称区间为函数的“域同区间”.试问函数在上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1），；（2）不存在，详见解析.

试题分析：（1）先求出函数的定义域与导数，求出极值点后，利用图表法确定函数的单调性，从而确定函数的极大值与极小值；（2）结合（1）中的结论可知，函数在区间上单调递增，根据定义得到，，问题转化为求方程在区间上的实数根，若方程的根的个数小于，则不存在“域同区间”；若上述方程的根的个数不少于，则存在“域同区间”，并要求求出相应的根，从而确定相应的“域同区间”.
试题解析：（1），定义域为，
且，
令，解得或，列表如下：

	增	极大值	减	极小值	增

故函数在处取得极大值，即，
函数在处取得极小值，即；
（2）由（1）知，函数在区间上单调递增，
假设函数在区间上存在“域同区间”，则有，，
则方程在区间上至少有两个不同的实数根，
构造新函数，定义域为，
，令，解得，，
当时，；当时，，
故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因为，，，故函数在区间上存在唯一零点，
即方程在区间上只存在唯一实数根，
故函数在区间上不存在“域同区间”.