Question

在三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，

m

=（2b-c，cosC），

.

n

=（a，cosA），且

m

∥

.

n

．
（1）求角A的大小；
（2）当

π

6

＜B＜

π

2

时，求函数y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域．

Answer 1

（1）∵

m

=（2b-c，cosC），

.

n

=（a，cosA），且

m

∥

.

n

        
∴（2b-c）cosA=acosC即（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0（2分）
化简，得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）
∵A+B+C=π，
∴2sinBcosA=sin（π-B）=sinB…（4分）
∵在锐角三角形ABC中，sinB＞0
∴两边约去sinB，得cosA=

1

2

，
结合A是三角形的内角，得A=

π

3

…（6分）
（2）∵锐角三角形ABC中，A=

π

3

，∴

π

6

＜B＜

π

2

…（7分）
∴y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B
=1+

3

2

sin2B-

1

2

cos2B=1+sin（2B-

π

6

）…（9分）
∵

π

6

＜B＜

π

2

，∴

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

∴

1

2

＜sin（2B-

π

6

）≤1，可得

3

2

＜y≤2
∴函数y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域为（

3

2

，2]．…（12分）