Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，SA=AB=AD=BC=1，E为SD中点．

(1)若9为底面BC边上一点，且BF=BC，求证：EF∥平面SAB；

(2)底面BC边上是否存在一点C，使得二面角S-DG-B的正切值为，若存在，求出C点位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1)取SA中点H，连EH，BH

由HE∥AD，BF∥AD，且HE=AD，BF=AD

∴HE∥BF，BF=HE，

∴四边形EFBH为平行四边形．

∴EF∥BH，BH面SAB，EF面SAB，

∴EF∥面SAB

(2)假设存在点G，满足题设条件，

过A作AI⊥DG于I，由三垂线定理得

SI⊥DG，并设二面角S-DG-B的大小为α

则tanα=，∴AI=，又AD=1

故∠ADG=45°或之ADG=135°

若∠ADG=45°，则G与B点重合；

若∠ADC=135°，则BG=AD+AB=2

故存在点C与B重合或BG=BC满足题设．