Question

【题目】从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设，五个正方形的面积和为．

（1）求面积关于的函数表达式，并求的范围；

（2）求面积最小值．

Answer 1

【答案】（1），的取值范围为，，（2）

【解析】

(1)由题意可知小正方形的边长为，大正方形的边长为，所以五个正方形的面积和为，又，所以，所以的取值范围为， ，，；

(2)法一：其中，，所以，此时，所以，则，因为，解得，即可求出面积最小值为；

法二：由（1）可知，令，则，设，，利用导数得到当时，面积最小值为．

解：（1）过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，，

因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，

所以点，分别为小正方形和大正方形边的中点，

所以小正方形的边长为，

大正方形的边长为，

所以五个正方形的面积和为，

，

因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，

所以，，，

所以的取值范围为，，

答：面积关于的函数表达式为，

的取值范围为，，.

（2）法一：，

，

，

，其中，，

所以，此时，

因为，所以，

所以，

所以，

则，化简得：，

由此解得：，

因为，所以，

答：面积最小值为，

法二：，

，

令，则，设，，

令，得：，

		0
		极小值

所以时，面积最小值为，

答：面积最小值为.