Question

已知函数．
(1)若直线与的反函数的图象相切，求实数k的值;
(2)设，讨论曲线与曲线公共点的个数;
(3)设，比较与的大小，并说明理由．

Answer 1

(1)
(2)见解析；
(3)

(1)的反函数为．
设直线与的图象在处相切，则
，解得．
(2)曲线与的公共点个数等于曲线与y=m的公共点个数．
令，则，∴．
当时，，在(0，2)上单调递减;
当时，，在(2，+∞)上单调递增，
∴在(0，+∞)上的最小值为．
当时，曲线与y=m无公共点;
当，曲线与y=m恰有一个公共点;
当时，在区间(0，2)内存在，使得，在(2，+∞)内存在，使得．
由的单调性知，曲线与y=m在(0，+∞)上恰有两个公共点．
综上所述，当x>0时，
若，曲线与没有公共点;
若，曲线与有一个公共点;
若，曲线与有两个公共点．

(3)解法一:可以证明．事实上，


．(*)
令，
则，
(当且仅当x=0时等号成立)，
∴在[0，+∞)上单调递增，
∴时，．
令，即得(*)式，结论得证．
解法二:

，
设函数，
则，
令，则(当且仅当x=0时等号成立)，
∴单调递增，
∴当x>0时，，∴单调递增．
当x>0时，u(x)>u(0)=0．
令，得，
∴，
因此，．