Question

设椭圆+=1（a＞b＞0）的焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），直线l：x=a²交x轴于点A，且=2．
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₁，F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），当直线MN的倾斜角为60°时，试求四边形DMEN面积．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据椭圆的交点得到c的值，根据向量之间的关系，求出a，b的值，根据所得的字母系数的值，写出椭圆的方程．
（II）根据直线的倾斜角得到直线的斜率，根据直线所过的一个点，利用点斜式写出直线的方程，与椭圆的方程联立，根据弦长公式，做出MN的长度和DE的长度，根据四边形两条对角线垂直，做出面积．
解答：解：（I）由题意，|F₁F₂|=2c=2，
∴A（a²，0）
∵=2．
∴F₂为AF₁的中点
∴a²=3，b²=2
即椭圆方程为
（II）直线MN的倾斜角为60°，直线的斜率是
∴直线的方程是y=（x-1）
直线与椭圆的方程联立得到11x²-18x+3=0
∴弦长是=
同理求出弦DE的长
∵四边形的两条对角线垂直，
∴四边形的面积是=
点评：本题考查椭圆的标准方程和弦长公式，本题解题的关键是直线与椭圆的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系求出弦长公式．