题目内容

设椭圆 $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的离心率为e，A为椭圆上一点，弦AB，AC分别过焦点F₁，F₂．
（I）若∠AF₁F₂=α，∠AF₂F₁=β，试用α，β表示椭圆的离心率e；
（II）设 $数学公式$ =λ₁ $数学公式$ ， $数学公式$ =λ₂ $数学公式$ ，当A在椭圆上运动时，求证：λ₁+λ₂为定值．

解：（I）设F₁（-c，0），F₂（c，0）．在△AF₁F₂中，由正弦定理得
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即|AF₁|= $\text{[math]}$ ，|AF₂|= $\text{[math]}$ ，
所以2a=|AF₁|+|AF₂|= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
=2c（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=2c• $\text{[math]}$ ，
得e= $\text{[math]}$ ．
（II）设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
①当y₀=0时，λ₁+λ₂=2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；当AB或AC与x轴垂直时，λ₁+λ₂= $\text{[math]}$ ．
②当AB，AC都不与x轴垂直且y₀≠0时，AC的方程为y= $\text{[math]}$ （x-c），
由 $\text{[math]}$ ，
消x得[b²（x₀-c）²+a²y₀²]y²+2b²y₀（x₀-c）y+c²b²y₀²-a²b²y₀²=0．
由韦达定理得 y₂y₀= $\text{[math]}$ ，
所以y₂= $\text{[math]}$ ，
所以 λ₂= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
同理可得λ₁= $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
故λ₁+λ₂= $\text{[math]}$ ．
分析：（I）设F₁（-c，0），F₂（c，0）．在△AF₁F₂中，由正弦定理得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能求出e= $\text{[math]}$ ．
（II）设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．当y₀=0时，λ₁+λ₂=2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；当AB或AC与x轴垂直时，λ₁+λ₂= $\text{[math]}$ ．．当AB，AC都不与x轴垂直且y₀≠0时，AC的方程为y= $\text{[math]}$ （x-c），由此能证明λ₁+λ₂= $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．