Question

【题目】已知函数， .

(1)求在处的切线方程；

(2)当时，求在上的最大值；

(3)求证：的极大值小于1.

Answer 1

【答案】（1）；（2）故当时，；当时，；当时，；（3）详见解析.

【解析】

(1)求出函数的导数，根据导数的几何意义求出切线斜率再由点斜式可得结果；(2)求出的解析式，求出，分别令可得函数增区间，令可得函数的减区间，分类讨论，根据函数的单调性可求出的最大值；(3)求出函数的导数，两次求导可判断函数的单调性，利用单调性求出函数的极值，判断即可.

（1）∵，

∴，∴在处的切线方程为，

即，

（2），（），令，得，

在区间上，，函数是增函数；

在区间上，，函数是减函数；

故当时，在上递减，.

当时，先增后减，故.

当时，在上递增，此时.

（3），令，

，则函数在上单调递减，，，所以存在唯一的，

当时，

当时，，所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，其中，所以函数有极大值.

函数的极大值是，由，得，

所以，因为，所以，即，

所以的极大值小于1.